Урок-фрейм “Застосування похідної”

Інтегрований урок з математики та фізики

Мета уроку:                                   

·  узагальнити, систематизувати матеріал з теми  знаходження похідної;

·  закріпити правила диференціювання;

·  розкрити для учнів прикладне значення теми;

·  формувати навички практичного використання похідної в фізиці та показати застосування похідної при розв’язуванні  життєво важливих завдань; 

·  удосконалювати уміння застосовувати знання в нестандартних  ситуаціях;

·  розвивати  пізнавальний інтерес до предмета

Тип уроку: узагальнення і систематизація знань.

Основні поняття: похідна, таблиця похідних, геометричний та фізичний зміст рохідної, рух, швидкість, прискорення, час.

Обладнання: презентація до уроку, експозиція книжок з фізики та математики, рамка для картини, натюрморт (імпровізоване складання натюрморту з основних понять уроку)

Хід уроку

І. Організаційний момент

ІІ. Мотивація навчальної діяльності учнів

Мозковий штурм
Запитання до класу:

1.     Як Ви вважаєте чому так стрімко  змінюється світ?

2.     Які асоціації викликає слово швидкість?

3.     Які процеси пов’язані з поняттям швидкості?

4.     За допомогою яких наук ми вивчаємо ці процеси?

Проблемні запитання:

•      Чи можна керувати швидкістю?

•      Що бачить фізик у похідної?

•      Чи є майбутнє у похідної?

•      Як довго похідна допомагає людству?

Вступне слово
Пряме не може бути кривим, а криве випрямляємо.
І все ж диференціальне числення, всупереч  протестам людського розуму, прирівнює за певних розумінь пряме і криве одне до одного і досягає цим таких успіхів, яких ніколи не досягнути здоровому людському розуму.

Урок-фрейм “Застосування похідної” - це урок, центром якого є поняття похідної, сприйняте психікою в обмежених рамках простору і часу. Фрейм охоплює все інформаційне оточення даного поняття, правила, формули...

Фрейм (з англійського-  рамка) означає консолідацію різнорідної інформації, що має центром те або інше реальне явище, дію, подію, ситуацію, сприйняту психікою в обмежених рамках простору і часу.

Розігрується сценка вчителів фізики, математики та вільного художника

Як розв’язуватимуть завдання «Закип’ятити чайник» фізики і математики.

Вчителі (по черзі): налити воду, запалити вогонь, поставити чайник на вогонь, підігріти до 100 °С.

А зараз нове завдання «Закип'ятити наповнений водою чайник».

Вчитель фізики: запалити вогонь, поставити чайник на вогонь, підігріти до 100 °С.

Вчитель математики: вилити воду з чайника, чим звести  завдання до попередньої умови.

Отже, спробуємо сьогодні на уроці поєднати фізичні постулати з математичними підрахунками.

З чого почнемо?

Реклама (вільний художник додає предмети до натюрморту)

Якщо історію будеш поважати, тоді і з інших предметів все будеш знати.

Історична довідка

Вчитель фізики

У XVII столітті відбулися великі революційні зміни в математиці. За довгий час своєї копіткої роботи ряд вчених з різних країн світу  внесли свій внесок у створення нового потужного апарату досліджень — інтегрального та диференціального числення.

З ім'ям Лагранжа пов'язана така операція математичного аналізу, як знаходження похідної. Звернемося до історії появи в математиці терміну “ похідна”.

Невелика історична довідка-повідомлення про учених Лагранжа, Ньютона, Декарта, Ферма, Лейбніца ( готують учні заздалегідь).

Слово учня

У 19 років Лагранж, ста професором в Артилерійській школі Туріну. Саме він в 1791 р. ввів термін “похідна”, йому ж ми зобов'язані і сучасним позначенням похідної  (за допомогою штриха). Термін “друга похідна” і позначення (два штрихи) також ввів Лагранж.

Завдання визначення швидкості прямолінійного нерівномірного руху було вперше розв’язане Ньютоном. Функцію він назвав флюентою, тобто поточною величиною, похідну ж - флюксією. Ньютон прийшов до поняття похідної, виходячи з питань механіки. Припускають, що Ньютон відкрив свій метод флюксій ще в середині 60-их років XVII ст.

Перший загальний спосіб побудови дотичної до кривої  в алгебрі був викладений в “Геометрії” Декарта. Більш загальним і важливим для розвитку диференціального числення був метод побудови дотичних Ферма.

Ґрунтуючись на результатах Ферма і деяких інших висновках, Лейбніц значно повніше за своїх попередників розв’язав  задачу про побудову дотичної до кривої в деякій точці.

Вчитель математики

Отже, тепер і ми  можемо сформулювати тему уроку: “Застосування похідної”.

Подібно до того, як цілий  рій  бджіл готовий   наперебій  колоти своїми жалами ведмедя,  який  завмирає від насолоди смакуючи  мед   і не звертає ніякої уваги на небезпечність, так не можна зрозуміти людину, яка одержує насолоду від математичних доведень ”.

Реклама  (вільний художник додає предмети до натюрморту)

Скуштуйте “Похідну” - це гарантія повного насичення”

ІІІ. Актуалізація опорних знань

Вчитель математики

Похідна – одне з фундаментальних понять математики. Уміння розв’язувати  завдання із застосуванням похідної вимагають   ґрунтовних знань теоретичного матеріалу, уміння аналізувати   різні ситуації. Тому на початку повторимо деякі теоретичні поняття.

1) Що називається похідною функції в точці?

Відповідь: похідною функції у = f(x) в точці х₀ називається границя  відношення

приросту функції в точці х₀ до приросту аргументу, коли останнє прагне до нуля.

2) Правила знаходження похідних. Чому дорівнює похідна від суми, добутку, дробу

Реклама (вільний художник додає предмети до натюрморту)

Знання таблиці і правил – це надійний крок до розв’язання багатьох завдань.

Знайте похідну!

Усний рахунок

Завдання для усного рахунку пропонуються у вигляді презентацій.

1. Знайти похідні наступних функцій (слайд):

Вчитель фізики

1) Довжина траєкторії за певний проміжок часу. (Шлях.)

·  Фізична величина, що характеризує швидкість зміни швидкості. (Прискорення.)

·  Одна з основних характеристик руху. (Швидкість.)

·  Наука, що вивчає загальні закономірності явищ природи, склад і будову матерії, закони її руху. (Фізика.)

·  Зміна положення тіла в просторі відносно системи відліку з часом.

2) У чому полягає механічний зміст похідної?

Відповідь: похідна функції у = f(x) в точці x₀ – це швидкість зміни функції f (х) в точці x₀ x'(t)= v(t)

3) Завдання 1.

Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом x(t)=-2+4t+3t^2. Знайдіть її швидкість  у момент часу t=2с. (х – координата точки в метрах, t – час в секундах).

Реклама (вільний художник додає предмети до натюрморту)  
Рух – це життя, яке починається зі зміни похідної. Лише прискорюючи життя, можна йти разом з усіма. 
ІУ. Виконання вправ за зразком
Вчитель фізики
До диференціювання звертаються тоді, коли виникає питання про швидкість зміни функції по відношенню до зміни аргументу.
Демонструється відеофрагмент
Остап з незнанням точних наук дуже занизив цифру. Названа ним величина була б справедлива для великої висоти над рівнем моря, адже атмосферний тиск падає якщо підніматися вгору,  причому  швидкість зменшується. Якщо Вам захочеться визначити цю величину, знаючи залежність тиску від висоти, до ваших послуг операція диференціювання.
Розв’язування задач
Задача 1
Тіло масою  m кг рухається за законом х(t) ( х – в метрах, t – в секундах). Знайти силу, що діє на тіло в момент часу  t₀, якщо m=3, t₀ = 2, х(t)=1/4 t⁴ +1/3 t³ - 7 t + 2.
Демонструється відеофрагмент
Задача 2
Машина рухається по автостраді так, що відстань від початкової точки руху змінюється за законом  S=5t-0,5t² (м), де t – час руху у секундах.  Знайти швидкість машини через 2 с від початку руху .
Отже, похідна  застосовується при розрахунках швидкості машини, величини гальмівного шляху, при виявленні порушень при русі автомобіля.

Вчитель математики

Усний рахунок. Чому дорівнює 1, 2, 3похідні

5 cos x + 2 х²

Вчитель фізики
Траєкторія польоту лижника, супутника, ядра, м’яча, траєкторія руху бігуна, машини, тіла, описуються за допомогою фізичних законів та математичних формул. Але складові цих процесів обчислюють за допомогою  головного поняття сьогоднішнього уроку ПОХІДНОЇ
Демонструється відеофрагмент
Реклама(вільний художник додає предмети до натюрморту)
 Віват похідній, яка перетворює світ і прискорює час.
У. Підсумки уроку. Рефлексія.
О такий гарний натюрморт ми отримали. Але пам’ятайте, що все це відбувалося в рамках лише одного поняття  ПОХІДНА. Вручення буклетів з творчим завданням
Обговорюючи успіхи свого учня, вчитель математики так відізвався про нього: “Він дуже мало знає, але у нього позитивна похідна”. Вчитель хотів сказати, що швидкість приросту знань у учня позитивна, а це є застава того, що знання зростуть.

Криві зростання знань.

УІ. Домашнє завдання.

Розв’язати задачу: Із міста виїзжають 2 автомобілі і деякий час рухаються за законом  s₁(t) = -t²+6t и s₂(t)=4t. Яка відстань буде між ними, коли їх швидкості зрівняються.

ФРАГМЕНТ, що супроводжує 9 слайд





ФРАГМЕНТ, що супроводжує 10 слайд
 ФРАГМЕНТ, що супроводжує 12 слайд